Dış Kaynaklı Proje Süreçleri Yönetim Sistemi
Erkoç T. (Yürütücü), Bozkurt güngör S., Akar G., Yılmaztürk U.
Gösteriliş teorisi ve karakter teorisi sonlu grupların yapısını anlamada önemli bir yere sahiptir. Sonlu grupların yapısıyla ilgili daha önce çözülememiş bir takım problemler gösteriliş ve karakter teorisinin gelişmesiyle birlikte çözülebilmiştir. Bu alanda ilk çalışmaları yapan Frobenius’un 1901 yılında yayınlanan “Über Ausflösbare Gruppen IV” adlı makalesinde yer alan tranzitif permütasyon grupları üzerine olan teorem, ilk önemli çalışmalardandır. Bu teorem, sonradan Frobenius çekirdeği adı verilen Frobenius gruplarında tek türlü belirli olan bir normal alt grubun varlığını ortaya koymaktadır. Burnside’ın “On Groups of Order $p^{\alpha}q^{\beta}$” adlı makalesinde ise, mertebesi iki asalın kuvveti biçiminde olan sonlu grupların çözülebilir olduğu, karakter teorisi kullanılarak ispat edilebilmiştir. Thompson’ın “Normal $p$-Complements and Irreducible Characters” adlı makalesinde bir sonlu G grubunun tüm lineer olmayan indirgenemez karakterlerinin derecesi bir sabit $p$ asal sayısı ile bölünüyorsa, G grubunun bir normal p-komplemente sahip olduğu ispatlanmıştır. Literatürde sonlu grupların tüm indirgenemez karakterleri ile çalışmak yerine bazı özel indirgenemez karakterler ile de çalışılmıştır. $G$ bir sonlu grup ve $\chi \in Irr(G)$ olmak üzere, eğer $G/ker\chi $ bölüm grubunun biricik minimal normal alt grubu varsa, $\chi$ karakterine $G$ grubunun bir monolitik karakteri denir. Berkovich ve Zhmud (1999) kitabında, sonlu grupların yapısı ile monolitik karakterleri arasındaki ilişkilere yer verilmiştir. Bu kitapta Thompson’ın teoremi tüm lineer olmayan indirgenemez karakterlerin dereceleri yerine lineer olmayan monolitik karakterlerin dereceleri alınarak genelleştirilmiştir. Sonlu bir grubun monolitik karakterleri kümesinin bir alt kümesini oluşturan güçlü monolitik karakterlerin tanımı ise ilk kez Erkoç vd. (2022) ''Strongly monolithic characters of finite groups'' yayınında verilmiştir. Bu çalışmada Thompson’ın teoremi tüm lineer olmayan indirgenemez karakterlerin dereceleri yerine güçlü monolitik karakter dereceleri alınarak çözülebilir gruplar için genelleştirilmiştir. Güçlü monolitik karakter tanımı yeni bir tanım olduğu için, bir sonlu grubun yapısı ile güçlü monolitik karakterleri arasındaki ilişkiler üzerine literatürde şimdilik sadece üç tane çalışma bulunmaktadır. Diğer iki çalışma Bozkurt Güngör - Erkoç (2022) ve Özkan- Erkoç (2023) çalışmalarıdır. Dolayısıyla, bu karakterlerle çalışılacak pek çok problem bulunmaktadır. Sonlu bir grubun tüm indirgenemez karakterleri veya monolitik karakterleri ile çalışmak yerine, genelde daha az sayıda olan güçlü monolitik karakterlerle çalışmak, incelenecek karakter sayısı azaldığı için daha işlevseldir. Çalışmalarda sonlu grupların güçlü monolitik karakterleri ile ilgili hipotezler verildiğinde bu hipotezi sağlayan sonlu grupların sayısı da genelde daha fazla olmaktadır yani elde edilen bulgular daha fazla sonlu grubun yapısı hakkında bilgi vermektedir. Bu projede sonlu grupların yapısı ile güçlü monolitik karakterleri arasındaki ilişkiler üzerine çalışılacaktır. Güçlü monolitik karakterlerin dereceleri, dereceleri üzerine bir takım hesaplamalar, çekirdekleri ve karakter tablosunda sıfırladığı (veya sıfırlamadığı) eşlenik eleman sınıfları göz önüne alınarak, grubun çözülebilirliği, nilpotentliği, süperçözülebilirliği, Fitting yüksekliği, grubun reel veya rasyonel grup olup olmaması ve bunun gibi yapısal özellikleri araştırılacaktır.